けんけんの数学日記

数学好きの大学院生が個人的に面白いと思った問題などを解いていくだけの世界線。

(29) n自然数、p素数で√n(n+p)が整数となるならnは平方数

今日は29番を解説します。この問題は整数に慣れてないと何をすれば良いかわからないかもしれないですが慣れてたらすることがわかってすんなりいくと思います。とりあえず以下の主張はたまに使います。

 

xとyが互いに素でxyが平方数ならxとyが平方数

 

これはxとyを素因数分解したとき、xとyが互いに素から共通の素因数を持たず、xyの各素因数に着目するとxy平方数から各素因数が偶数になる。それ故xが素数pで割り切れる→pでちょうど偶数回割り切れる、という主張が導けるので平方数がわかります。この主張は難しい問題では自明として良いと思いますがこのレベルだと示しておいたほうが吉です(僕は今回は省略したけど入試本番、模試だと証明も書くと思います。)

解答はこちら。

f:id:kenken-math-0604:20180304221951p:image