(161) 16a^b＝b^aの整数解

今日は2015年の名大オープンの解説をします。今日は酔ってるので解説がやや雑かもです笑

この形は受験ではまず見ない問題です(数オリだとこういう形の問題が出たりする)が名大は受験生の知らない分野を入試に出そうとする傾向が少なくとも僕が受験生の時期にはあった気もするのでまぁ模試に出したんでしょうね。

解説していくと、こういう冪絡みの問題はa,bを素因数分解して各素数に対して条件を考えると良い性質がわかったりします。今回の場合だと16＝2^4というまあまあ強い条件が式についているので、16a^b,b^aの2で割り切れる最大回数に着目するとa,bが2以外を素因数に持たないことがわかります。すると後は不等式評価でしらみつぶしすると答えが出ます。

a^bみたいな式が出てる時はa,bを素因数分解することが非常に有効です。「a^b＝b^aを満たす自然数(a,b)の組」というのは有名問題でlogx/xのグラフを書いて解くように習った方もいるかもしれませんがこれをひねった問題で上の有名問題のように単純に考えられない場合は素因数分解して各素因数について考えるとうまくいくかもしれません。

解答はこちら。