(103) a²/(2ab²－b³＋1)が整数となる(a,b)

今日はimoの整数問題の解説をします。このimoの問題でよくある初手で固まりそうな問題ですが、とりあえずこの式をmとおいてaの二次式とみなします。するとこれは結構有効な手段なのですが、

xx+ax+b＝0が整数解を持つなら判別式aa-4bは平方数になる

という主張が使えます。これはまぁ当たり前で解の方程式で解を出したら解は整数、つまり有理数だから√(aa-4b)が有理数になるからです。

で、これを使うと判別式がbとmの式で出てくるのですが、この式がm^2b^4+〜のようになります。で、この式がそんなに綺麗な式ではないのですが明らかにm^2b^4が強そう(e^xとxを比較したらe^xのほうがxより発散が早いですが僕はこういう時にe^xの方が強いと表現します)になります。だからこれと平方数になることをふまえたら、だいたい(mb^2+□)^2+(小さいもの)のような形で表せそうと思って、あとはこの小さいものが小さくなるように取ると判別式Dが

□^2<D<(□+1)^2のようになって平方数にならないといえるようになります。

解答はこちら。