ゲームで連敗するまでやる回数の期待値

暇人なので今日はゲームで連敗するまでやり続けるとしたときの回数の期待値を求めました、手動で。

というのも、僕はよくスプ◯トゥーンをしてるんですけど、あのゲーム、連敗すると調子が悪くなるので連敗するまでやることが多いんですよね。二連敗か三連敗。だから二連敗するまでやる回数の期待値、三連敗するまでやる回数の期待値を計算しました。高校生でもわかる内容でできるので暇な人は是非読んでください。ちなみにスプ◯トゥーンは相当うまくないと自分の実力付近のところで勝率が50%になると思うので、今回は勝率50%として、話を進めています。計算方法を同じようにすれば確率pでもできると思います。

まず二連敗するまでやる回数の期待値ですが、これは普通に高校生でも解けるレベルの話出すが、n回目に終わってなくて一連敗、またはn回目に勝ってる確率を漸化式で立てて計算すれば、n回目に終わる確率はn-1回目に1連敗かつ次負ける確率になるので、それを計算して期待値のΣnp_nを計算すればできます。暇じゃないとやる気の起きない計算ですが、暇だったので計算しました。

ちなみにこの期待値は6回になりました。つまりスプ◯トゥーンを二連敗したらやめようと思えば、平均すると一日6回やることになります。ガチマッチの集中力はそんなに長く持つものでもないし二連敗するまでやるつもりくらいでいるといいかもしれませんね。

で、次は3連敗したらやめるとした回数の期待値ですが、これも立式自体はn回目に終わってなくて二連敗、一連敗の確率とn回目に勝つ確率に対して関係式考えたら３つの連立漸化式が出てきます。で、これが高校生だと処理するのが難しいのですが、線形代数とか習ってると固有値とか固有ベクトルとかをうまく考えたら係数が簡単に予測できるのですが、うまく二つの場合のようにax_n+by_n+cz_nが等比数列になるa,b,cを見つけることができたら解けます。で、仮にそれを解くとしても実はそのa,b,cの係数に対して8x^3-4x^2-2x-1＝0の解とかがめちゃくちゃ絡んでてめちゃくちゃめんどくさい式になります。とても暇じゃないと計算する気が起きません。しかしとても暇だったので頑張って計算しました。頑張りました。

頑張った結果、三連敗したらやめる期待値は14回でした。確かに三連敗でやめるくらいが一番回数的にはいいかもしれませんね。

同じようにやれば理論上は4連敗、5連敗の場合も値が出せますが、そもそも僕自体が3連敗したらガチマッチはやめてナワバリバトルをするようにしてるから計算していません。こんな絶望的な計算をしなくてもうまく計算すればすんなり求まるかもしれませんね。とりあえず結論として、二連敗して終わる期待値は6回、三連敗して終わる期待値は14回でした。僕はとりあえずこれを参考にしてやっぱり3連敗するまでガチマッチをやることにします。