(6) ペル方程式の無限個の解の構成について

こんばんは。今回はペル方程式について話します。ペル方程式は実際はもっと色々できて、特に解の形状とか完全に特定できるのですが今回は解が無限個あるという点のみに絞って話します(そういう記事はどうせwikiとかに書いてあると思うので)。

ちなみにこれは高2のときにペル方程式の存在を知らずx^2＝5y^2+1の解が無限個存在するかどうかが気になって解いた自作問題がのちにペル方程式と呼ばれてることを知り、このような形でbotに残っております。

で、これ、発想としては9,4がいけて、その他にどうなるか考えてたと思うんですけど、因数分解考えたら(b-1)(b+1)＝5a^2が出てきてb-1とb+1を5x^2とy^2みたいに分かれそうって思います。で、この差を考えたら2になってるはずだけど、そうすると5x^2とy^2の差が2にならないといけないけどそれは構成とかを考えるときに無理そう(だしそもそも|5x^2-y^2|＝2はmod5をみたら不適)なのでb+1とb-1が10x^2と2y^2になるようなケースを考えます。このときまたy^2-5x^2＝1が作れそうなので、構成して無限個になりそうって感じになります。解答はこちら。