こんばんは。今日はこの問題について考えたいと思います。 この問題、高3のときに知人から聞いた問題なのですが、春合宿の問題にも出てたらしいです。が、問題作るときに自然に出てきそうな問題だったりもするからどうしようと思ったまま知人の問題になって…

こんばんは。今回はペル方程式について話します。ペル方程式は実際はもっと色々できて、特に解の形状とか完全に特定できるのですが今回は解が無限個あるという点のみに絞って話します(そういう記事はどうせwikiとかに書いてあると思うので)。 ちなみにこれは…

こんばんは。今日は僕が見た中では京大通常入試で最難問と思う2009年の6番を解きたいと思います。僕は大学院生で、兄はもっと年上なのですが、兄の京大過去問10年を持っていたおかげか2000年〜の京大入試は解いたことがあるのですが、その中で一番難しいと思…

こんばんは。今日はこの問題 をやります。千葉大後期ですが、千葉大の後期の数学は面白いやつも結構あるのでやってみると良いです。さて、この問題ですが、ご存知だと思いますが、 「有理数解は±(定数部分の約数)/(最高次の係数の約数)が必要」 という主張が…

こんばんは。今回は多分ご存知の方も多そうなフェルマーの小定理「nとp互いに素でpが素数ならn^(p-1)≡1(modp)」を示します。 この問題、集合｛1,2,…,p-1｝を考えたら｛n,2n,…,(p-1)n｝をpで割ったあまりの集合が先の集合と一致するから全部の要素をかけた n^…

こんばんは。今日はJMOのやつで解説希望があったこれを解きます。 考え方って言われてもだいたい経験則で適当にやっただけですがまあ解説していきます。 まずこの問題で何を考えるかですが、2^kの倍数みたいな話が出てきてるけどこういうのはだいたい2^kの倍…

こんばんは。今日は有名問題のこれを示します。 この問題、実は大学数学を学ぶと見方が変わってしまうのですが、整数問題botに関する話は高校生向けの話なのでまずは高校生の視点で解説します。 とりあえず帰納法を使いたいと考えるわけですが、仮定をどう使…

こんばんは。今日はこれの解説をします。 この問題は確か2014年(平成26年)に卒業式の一言みたいなのに詰んでなんか問題貼っとけばいいやの精神で作った問題です(インキャだと卒業文集の一言で詰みがち)。 まあこれは純粋な疑問として考えたわけですが、とり…

こんばんは。今日はこの自作問題をやります。 昔純粋な疑問で作ったけどよくみたら次数が違うから簡単だった問題です。割と次数の差を抑えたい気持ちを素直な操作でやれば解けるからまあまあな問題と思います。知らんけど。 これはとりあえずa,bが正ならダメ…

こんばんは。今日は京大オープンのこれをやります。 とりあえずnの約数の個数はn＝p_1^a_1p_2^a_2…+p_k^a_kみたいになったら f(n)＝(1+a_1)…(1+a_k) みたいになります。 このとき、普通にp_1^a_1と1+a_1を比較したら指数的増大をするから明らかにp_1^a_1が大…

こんばんは。今日はこの問題の解説をします。 これ、多分背景的なものを知らないと厳しいので最初に書きますが、Σ(k＝1〜n)[f(n)]は0

こんばんは。今日は京大の整数の中でも一番好きかもしれないこの問題を解きます。 この問題以外にも2009年のやつとか難しいけど、これは(最初に出した気がする京大は凄いけど)今やテンプレ問題になってるし、他の年はだいたい余り絡みの問題が多くてつまらな…

こんばんは。今日は昔先輩に紹介されたこのような問題を考えたいと思います。 この問題、簡単に実験すると5^2＝25はok、25^2＝625もok、625^2＝390625でok、3125^2は9765625でokでない。 みたいに最初5^nみたいなんでいけるかなってなるけどいけないんですよ…

こんばんは。今日は大学への数学の宿題を解きます。 これです。とりあえず実験をすればS(n)/n<Π(1+(1/(p_i-1))みたいな不等式が得られますが、これがpが素因数持つ数が多くなると不等式作れそうってなります。それでk大きくなるとダメっぽいなと思ったら5以…

こんばんは。最近怠惰にしてたのですがまたブログをします。今回は九州大の入試です。 これですね。これは結構詰まりそうになるけど、完全数の証明と普通の操作で簡単にすることをやっていったらできます。 約数の和がらみの問題でも不等式が作りやすいって…

こんばんは。今回もやっていきたいと思います。 今回のも自作問題ですが、簡単に言うと最高位がなんかで1の位が1であとは0になってる数が平方数にならない証明です。これも高校生の時に作った問題です。 割と素直なことをやれば不等式評価にもっていけて解け…

こんばんは。今日IMOの3番で面白い問題があったからそれについて言いたいと思います。 この問題、結構難しいんですけど、ちょっとずつ問題が解けていく感じが脳汁出るのでおすすめです。 さて、この問題、簡単に約数の議論とか使うと Π(1+2a_k)/(1+a_k) を整…

今日はこれの解説をします。最近ブログ書くのが疲れてきたけど頑張ってます。 これは構成できるか調べて、できなかったからとりあえずあまりを見たらできます。 有理数の二乗は頑張ればできます。 明日以降はブログ頑張りたいと思います…(雑)

こんばんは。今回はabc＝(a+b+c)^2の整数解が無限個あるかどうかを調べたいと思います。 なんか数学祭っていうのがやっててそれに便乗して自作問題をサムネ詐欺しただけなのにめっちゃ見てもらえて恐縮してます…完全に詐欺で、コンテストほど難しくないやつ…

こんばんは。今日もブログの解説やっていこうと思っております。 この問題、確か自分が初めてまともに作ったと言える問題ですね。今思えば簡単な問題ですが思い入れはあります。 普通に考えてこの問題、m^nがとても大きくなりそうなので不等式評価をしようっ…

こんばんは。今日は2012年の東大オープンの問題を解説します。 これは発想は自然だけど書くのに苦労しました。激易って嘘だろ。易くらいだろ。 発想は簡単で、pで割った余りの個数はすぐでて、あとは(ap+k)^2のp^2で割ったあまりを考えたら2apの部分で余り調…

こんばんは。今日は2009年の大学への数学の学コンの解説をします。ゾロ目は111111とかのことですが、これは10^n-1/9なことは余りにも有名です。なので6^x+6^y＝a・(10^n-1)/9を考えたらできます。これはmod5を考えたりしたら色々特定できて、あとは2でたくさ…

こんばんは。今日は初年度(2016年度)の京大特色入試の4番を解きたいと思います。D無制限でしたっけ。問題はこれです。 画像は探してきたら出てきました。 この問題を解くと実は特色入試で大事なことがわかったりするので、是非読んでいただけたらなと存じて…

こんばんは。今日は質問箱で来てた京進なんとかコンクールの問題の解説をします。これ、激易になってるけど5分問題でも良さそう。 内容としては意外と知らない人もいるかもしれないけど、mとnの最大公約数を考えただけでほぼ終わります。なんだこれ。 一応s…

今日はこの問題を考えていきます。1998年のapmoの2ですね。 わざわざ36とかいう数字をとってきてるところ、どうせ余りに注目するんだろと邪な感情を抱きます。実際あまりに着目したらできます。典型手法を使えばできます。解説することがなくなったので終わ…

今日は1993年のapmoの解説を書きます。 とりあえずn小さい時考えたらn＝1okで、n＝2を考えたら全部正やん、n偶数全部アウトやんみたいになって、3以上の奇数を考えます。 で、これは僕個人の意見ですが、人間は正のものを扱う方が得意と考えてるので不等式的…

2013年の後期の一橋の入試ですね。露骨な8√(2y-1)とかいうタームがあるのでこれを評価できればできそうです。とりあえずこの誤差項を抑えることに徹底すれば解けるでしょう。 実際は8(√(2y-1)が整数になってうんぬんかんぬん議論すると2y-1＝m^2でm奇数みた…

こんばんは。今日は2013年の東大オープンの解説をしていきます。とりあえず1/x+1/y＝なんかの問題は変形して(ax-b)(cy-d)＝eみたいな形にして考えると良いことを意識して変形して、余りに注目すればできます。 なんでそんなん思いつくと噛みつく方もいらっし…

お久しぶりです。今日から久しぶりにブログ更新しようと思います。夏休みも終わるということですが、僕はしばらく夏休みなのでとりあえず一ヶ月連続更新目標です。30問解けば良いだけだからできるはず(できるとは言ってない)。 今日は大学への数学の宿題です…

SNS で以下の 2017 年度の京大院試の基礎の問題5が話題になっていました。 この問題、京大の解析の基礎問題の中では基本的な問題で、解を具体的に表記して典型 的な評価を施せば解けます. とはいえ、常微分方程式を高校以来やってなかったら解の表現 を思い…