今日はimoの整数問題の解説をします。このimoの問題でよくある初手で固まりそうな問題ですが、とりあえずこの式をmとおいてaの二次式とみなします。するとこれは結構有効な手段なのですが、 xx+ax+b＝0が整数解を持つなら判別式aa-4bは平方数になる という主…

今回は整数問題関係なくて高校生にはちょっと解けない(大学数学の基礎の中の基礎を身につけたらできるのでちょうど春休みあたりだから勉強してみるのも良いかも)関数方程式の話をします。 このf(xy)＝f(x)f(y)というのは群の準同型と呼ばれる形になる(実際は…

今回は阪大の2011年の4番ですね。大学入試の問題だと難しい。(あと誘導のぞいてるけど僕が高校生の時誘導なしで解いたときの難易度がやや易でした。) こういう問題をどうやって解くかというと、 f(x)の3乗根はだいたいx+a/3くらいになることを知ってると任意…

今日は自作問題の解説です。これは確か大学一回生のときくらいに作った問題です。慣れてないと何をすればいいかわからないかもしれません。 とりあえず適当に試して見るといいです。例えばa_1＝1でa_2＝3とかすれば次a_3は5か8か11かそんな感じになって、a_3…

今回は自作問題の解説です。この問題、正の整数じゃなくても整数で成立するやと思って整数解を求める問題にしたけど書くだけ案件が多くなってくそな拡張でしたね() 解説していくと、まぁ冪に関する問題の典型的主張を使っていけば大丈夫だと思います。 a≦0ま…

大学への数学の2016年の1月の宿題だと思います。 だと思いますというのは、botでa^2+b,b^2+aがどちらも素数の整数乗となる(a,b)を求めよとしていたのですがこれはa＝1としたときにb+1,b^2+1が共に素数の整数乗となればよくなるのですがこれはb＝1,2,4,6,10,……

整数問題botの中で一番簡単のうちの一つです。こんなん解説いらんわって人もいるかもしれないけど本当にランダムにやってるだけなんで希望あったら行ってくださいね。 これはほぼ解説することもないんですがn^4を3n+7で割って定数出したいんですがn^4の係数1…

今日のは普段と毛色が違います。というのも円周率が無理数なのは有名問題で高校数学で解けるとはいえ解き方知らずに解くのはさすがに無理がありすぎるからです(天才なら解き方知らずにできると思うけど僕の主観的な意見で収録してません)。僕も「円周率 無理…

今回は2009年のJMOです。気づけば簡単に解けると思います。 一般的に指数関数は普通の多項式より発散速度が速い、つまりnをある程度大きくすると2^n>n^kが成立します。ので、この問題は多項式が2^n+nの倍数になることが言えたら多項式>0なら多項式≧2^n+nとな…

三次方程式の解に関する問題です。こういうαⁿ＋βⁿ＋γⁿとかの性質はm項間漸化式を立てれることを知っておくと便利です。解答に書きましたがこういうm次方程式の解をn乗した和というのはa_(n+3)-2a_(n+2)-8a_n＝0と、x^3-2x^2-8＝0と酷似した形の良い等式が得…

今日は2015年の名大オープンの解説をします。今日は酔ってるので解説がやや雑かもです笑 この形は受験ではまず見ない問題です(数オリだとこういう形の問題が出たりする)が名大は受験生の知らない分野を入試に出そうとする傾向が少なくとも僕が受験生の時期に…

今回は数学オリンピックの2011年の2番の解説です。 この問題は個人的によくできてていいと思います。好きなタイプの問題です。まず一般に次の性質が成り立ちます。 x>1として、x^s-1がx^t-1の倍数ならsはtの倍数 これは解答に示しておきましたがうまくくくっ…

今日は29番を解説します。この問題は整数に慣れてないと何をすれば良いかわからないかもしれないですが慣れてたらすることがわかってすんなりいくと思います。とりあえず以下の主張はたまに使います。 xとyが互いに素でxyが平方数ならxとyが平方数 これはxと…

今日は有名問題で大学への数学の学コンを出典にしてるけど近大数学コンテストとかでも出てる問題解説です。 では解説していくと、このタイプの問題(具体的な数字(3とか4とか)のべき乗が絡んでる問題)はあまりを注目するとどれかが偶数になってそこから因数分…