(177)初項1で平均が整数でa_n<n+kとなる単調増加な整数列はa_n＝1となる

今日は自作問題の解説です。これは確か大学一回生のときくらいに作った問題です。慣れてないと何をすればいいかわからないかもしれません。

とりあえず適当に試して見るといいです。例えばa_1＝1でa_2＝3とかすれば次a_3は5か8か11かそんな感じになって、a_3＝5なら次a_4＝7か11か、…というようになっていきます。

もっと極端な例を試して見ると、a_1＝…＝a_100＝1とかにしてa_101>1となったとしたらa_101＝102とかになって、次a_102＝104とかで次a_103＝106とかで、…

というようにどっかで1より大きくなるとそれ以降は2飛びずつになりそうな気がします。

で、2飛びになるとa_n<n+kのような形ではくくれなくなるのでどうやって矛盾を示そうってなるわけですね。

で、これはこの問題に限らずよく使うことなんですが、正の整数って1以上なんですね。当たり前ですがこれはすごくよく使って、というのも整数n,mがm<nならm+1≦nと、ある程度の幅ができてくれるわけです(つまりx<yで0.9999<1みたいなy-xが小さい場合を考えなくていいわけです)。

これを利用していくとこの問題は解けるようになってます。差が1以上になることを用いて2飛びになることを示す感じですかね。

解答はこちら。