(65)a,b,c>0でf(x)＝x³+ax²+bx+cとするとしたとき任意の自然数nに対して³√(f(n))が自然数となるf

今回は阪大の2011年の4番ですね。大学入試の問題だと難しい。(あと誘導のぞいてるけど僕が高校生の時誘導なしで解いたときの難易度がやや易でした。)

こういう問題をどうやって解くかというと、

f(x)の3乗根はだいたいx+a/3くらいになることを知ってると任意のnで整数も合わせてf(x)＝(x+a/3)^3くらいになるんだろうなと思うのですが、このf(x)の3乗根がx+a/3とくらいと任意のnでf(n)の3乗根が整数から十分大きいLに対してはf(L)の3乗根、f(L+1)の3乗根、f(L+2)の3乗根は公差1の等差数列になるはずになります。

これからf(L)＝m^3,f(L+1)＝(m+1)^3.f(L+2)＝(m+2)^3というように洗わせるのでこれをa,b,cの連立方程式として解けばあとは示せるはずです。大学数学を習ってると(f(x)の3乗根-(x+a/3))がx→∞で0になることから色々と議論すると楽にできるけど高校数学でやるとややめんどくさくなりがちな気がしますね。解答はこちら。