(21)4^a+4^b+4^cが平方数になるa,b,c

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こんばんは。今日はこの問題について考えたいと思います。この問題、高3のときに知人から聞いた問題なのですが、春合宿の問題にも出てたらしいです。が、問題作るときに自然に出てきそうな問題だったりもするからどうしようと思ったまま知人の問題になって…

2020-09-24

(6) ペル方程式の無限個の解の構成について

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こんばんは。今回はペル方程式について話します。ペル方程式は実際はもっと色々できて、特に解の形状とか完全に特定できるのですが今回は解が無限個あるという点のみに絞って話します(そういう記事はどうせwikiとかに書いてあると思うので)。ちなみにこれは…

2020-09-22

(4)京大整数最難問2009年6を解く

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こんばんは。今日は僕が見た中では京大通常入試で最難問と思う2009年の6番を解きたいと思います。僕は大学院生で、兄はもっと年上なのですが、兄の京大過去問10年を持っていたおかげか2000年〜の京大入試は解いたことがあるのですが、その中で一番難しいと思…

2020-09-21

(151) pが素数ならx^n-p^nx-p^(n+1)＝0は整数解を持たないことを示す

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こんばんは。今日はこの問題をやります。千葉大後期ですが、千葉大の後期の数学は面白いやつも結構あるのでやってみると良いです。さて、この問題ですが、ご存知だと思いますが、「有理数解は±(定数部分の約数)/(最高次の係数の約数)が必要」という主張が…

2020-09-20

(3) フェルマーの小定理、こっちの方が楽だと思う世界線

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こんばんは。今回は多分ご存知の方も多そうなフェルマーの小定理「nとp互いに素でpが素数ならn^(p-1)≡1(modp)」を示します。この問題、集合｛1,2,…,p-1｝を考えたら｛n,2n,…,(p-1)n｝をpで割ったあまりの集合が先の集合と一致するから全部の要素をかけた n^…

2020-09-19

(138) 任意の奇数mと任意の正の整数kである整数nが存在してn^n-mが2^kの倍数

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こんばんは。今日はJMOのやつで解説希望があったこれを解きます。考え方って言われてもだいたい経験則で適当にやっただけですがまあ解説していきます。まずこの問題で何を考えるかですが、2^kの倍数みたいな話が出てきてるけどこういうのはだいたい2^kの倍…

2020-09-18

(90) 0〜nを代入して整数になるn次多項式は任意の整数を代入すると整数になる

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こんばんは。今日は有名問題のこれを示します。この問題、実は大学数学を学ぶと見方が変わってしまうのですが、整数問題botに関する話は高校生向けの話なのでまずは高校生の視点で解説します。とりあえず帰納法を使いたいと考えるわけですが、仮定をどう使…

2020-09-17

(56)x^26+y^26＝2014^nの自然数解を求めたい

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こんばんは。今日はこれの解説をします。この問題は確か2014年(平成26年)に卒業式の一言みたいなのに詰んでなんか問題貼っとけばいいやの精神で作った問題です(インキャだと卒業文集の一言で詰みがち)。まあこれは純粋な疑問として考えたわけですが、とり…

2020-09-16

(58)a^3+ab+b^3＝0となる整数(a,b)を求めるだけの記事

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こんばんは。今日はこの自作問題をやります。昔純粋な疑問で作ったけどよくみたら次数が違うから簡単だった問題です。割と次数の差を抑えたい気持ちを素直な操作でやれば解けるからまあまあな問題と思います。知らんけど。これはとりあえずa,bが正ならダメ…

2020-09-15

(69)京大オープンで約数の個数絡みの整数問題は不等式評価で解けることを確認する世界線

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こんばんは。今日は京大オープンのこれをやります。とりあえずnの約数の個数はn＝p_1^a_1p_2^a_2…+p_k^a_kみたいになったら f(n)＝(1+a_1)…(1+a_k) みたいになります。このとき、普通にp_1^a_1と1+a_1を比較したら指数的増大をするから明らかにp_1^a_1が大…