(21)4^a+4^b+4^cが平方数になるa,b,c

こんばんは。今日はこの問題について考えたいと思います。

この問題、高3のときに知人から聞いた問題なのですが、春合宿の問題にも出てたらしいです。が、問題作るときに自然に出てきそうな問題だったりもするからどうしようと思ったまま知人の問題になってます。

とりあえずこの問題、4で割り切れる回数まとめたら本質的に1+4^a+4^bが平方数になるa,bを求めたらよくなるけど、aに比べてbが大きいと(2^b)^2くらいになりそうというお気持ちから平方数を2^b+kと起きます。こうしたらあとはよくある手法を使って計算すれば解けます。