この自作問題の解説をします。これは自作ってしてるけど単純に3^a+4^b＝5^cになる(a,b,c)＝(2,2,2)になるから他のやつならどうなるかなと思って作ったことになってます。とりあえずこのタイプは割った余りに気をつけるとだいたい条件が絞り込めます。 あと、…

だいぶ前の駿台全国模試の問題です。 まずこの式のα^n-β^n/α-βは漸化式が建てれることは前提として、とりあえずこういうタイプの問題は二乗和で表せるんだから実験してみましょう。そうするとn＝7まで調べたら答えが推測できると思うからあとは頑張って計算…

確か出典が高校への数学だからそんなに難しいことを使わない。ただ計算。ひたすら計算。しみじみ計算。 あ、あとa^3は割った余りを意識するとmod9が0,1,-1だからそういうのも見ると良いかも。

院生生活意外と忙しいですね。毎回手打ちで問題の講評してるけど五月病でやる気が出てません。 とりあえず答えだけでも貼った方が良いんでしょうかね笑笑 とりあえず115は無限あるので構成しようとしてみましょう。そうするととりあえずa^3+b^3が因数分解で…

お久しぶりです。今月の東進数学コンクールについて解説します。まず、問題は次のようなものでした。 https://www.toshin.com/sp/concours/ 時間が経つとサイトが変わるがしれないけど、 a_(n+2)＝a_(n+1)+a_n/nとなる数列が収束する条件を求めます。 この問…

暇人なので今日はゲームで連敗するまでやり続けるとしたときの回数の期待値を求めました、手動で。 というのも、僕はよくスプ◯トゥーンをしてるんですけど、あのゲーム、連敗すると調子が悪くなるので連敗するまでやることが多いんですよね。二連敗か三連敗…

関数方程式が結構好きなので今年のJMOの3もやりました。問題はネットで拾ったけど正の実数から正の実数に移して f(f(y)/f(x) +1)＝f(x+ y/x +1)-f(x) となるfです。 とりあえずx＝yを入れて単射性とか調べたら、x＝yのときとx＝2でf(2)みたいな形が簡単に固…

今日はJMO本選でしたね。さっき問題を見て、1が整数問題だったから久しぶりに解きました。右辺の次数がb^4くらいになるので、明らかにそこらへんを意識した不等式を作れたら解けると思います。今回はa^2＝(b^2-c^2)^2-b-3にして平方数になるはずだから(b^2-c…

整数問題ではないですが、数学がそこそこ好きなら一度くらい気になったことがある人もいるのではないでしょうか？僕もなんとなく気になって考えたのですが、意外とすんなり解けたから今日はこれについて書きたいと思います。 この問題ですが、本質的にはサイ…

どこの大学か忘れたけどどっかの大学入試です。こういう左辺と右辺の次数が違う問題は大概不等式評価で解けます。不等式は対称性とかを使って適当にくくればいいです。今回は答案のようにやりました。

とりあえず検索しやすいように番号を割り振りました。検索で(100)みたいにしたら100番が出るようになったと思います… さて、今回のはjjmoの問題ですが、どの桁を入れ替えてもいいというとたくさん操作方法がありそうなものですがこういう問題は一部の桁を入…

昔の東大の入試問題ですね。だいたい10^210/10^10になることはまぁなんとなくわかると思います。今回はそれをうまく言うにはどうすればいいかみたいなのを考えたらいいと思います。あと、分母が10^10+3みたいになってると考えにくいからこう言う問題は分母10…

今回はx^3+y^3-3xy＝nを満たす整数解が無限個あるnが-1に限る証明です。要はn＝-1の時だけイレギュラーなことが起きるのですがそれはn＝-1のときは因数分解＝0の形になるんですよね。だから逆にそうでないときは因数分解＝整数みたいな形にできるからそれに…

私事ですが、大学の授業もおわり、大学院に向けた月1のゼミも終わったことから勉強は継続しないといけないけど少し空き時間ができたから今後もぼちぼち解いていけたらなと思いますね。 さて、この問題ですが素直に帰納法使えばだいたいできます。ただ、ちょ…

APMOのこの問題も解説したいと思います。なんかやや難になってたけど今解いたらそこまで難しくなかったから標準にしてもいいかもですね。普通にn^p+1がLTEの補題に当てたらほとんどn+1の作用で決まってしまうのとn+1はqの倍数でないがn^p+1はqの倍数のような…

気が向いたから問題解説再開します！暇な人は解説お願いしてくれたらやるよ！ この問題は全部かけたらだいたい36n^6みたいに6n^3の二乗くらいになるなみたいな、最高次数に着目するとだいたい平方数になるから不等式評価ができそうみたいな考え方になります。