(4)京大整数最難問2009年6を解く

こんばんは。今日は僕が見た中では京大通常入試で最難問と思う2009年の6番を解きたいと思います。僕は大学院生で、兄はもっと年上なのですが、兄の京大過去問10年を持っていたおかげか2000年〜の京大入試は解いたことがあるのですが、その中で一番難しいと思います。ただ、今の受験生は10年以上前の問題になると思うと歳を取ったことに震えてしまいますね。

さて、問題はこのようなものですが、

まあとりあえず漸化式立てて、奇数になることもすぐわかります。で、そのあとどうしようって感じですが、とりあえずa_mとb_mが互いに素でないならn>mでもa_nとb_nが互いに素になることがわかります。

また、それとは別個に帰納法でできるんじゃねみたいなお気持ちでn＝1を考えたら(a+b√2)^2＝ (a^2+2b^2)+2ab√2でa^2+2b^2と2abが互いに素が普通に示せます。これを念頭においたら二乗すれば互いに素になってくれるみたいなお気持ちでa_(2^n)とb_(2^n)が互いに素になることも示せます。それゆえa_mとb_mが互いに素でないならm<2^Lみたいなやつでa_(2^L)とb_(2^L)が互いに素にならずに矛盾するみたいなことが言えます。なかなか難しいけど面白い問題だと思います。