(90) 0〜nを代入して整数になるn次多項式は任意の整数を代入すると整数になる

こんばんは。今日は有名問題のこれを示します。

この問題、実は大学数学を学ぶと見方が変わってしまうのですが、整数問題botに関する話は高校生向けの話なのでまずは高校生の視点で解説します。

とりあえず帰納法を使いたいと考えるわけですが、仮定をどう使おうってなります。ですが、一般に多項式をずらした、例えばP(x+1)-P(x)みたいなのを考えたら最高次のが消えてくれます。これに注意するとP(x+1)-P(x)に対して帰納法の仮定が使えそうってなります。

そのあとどうしようってまたなるわけですが、P(n+1)＝P(n+1)-P(n)+P(n)で、ここでP(x+1)-P(x)が任意の整数xで整数になることがわかってたらいけるようになってるわけで、P(n+2)とかでもこれが使えたらいけそうってお気持ちになります。P(-1)とかも同じような感じでやればできそうです。というわけでこの仮定であとは解答のようにすれば解けます。

ちなみに大学数学では基底の取り替えとかそういうことを学ぶので、そもそもn次多項式の書き方を別解のようにとって考えていけばできます。