(15)8ⁿ＋nが2ⁿ＋nの倍数となるような自然数n

今回は2009年のJMOです。気づけば簡単に解けると思います。

一般的に指数関数は普通の多項式より発散速度が速い、つまりnをある程度大きくすると2^n>n^kが成立します。ので、この問題は多項式が2^n+nの倍数になることが言えたら多項式>0なら多項式≧2^n+nとなるので、nを上から抑えてやることができます。

そうしようと思うと、8^nと2^nが出てきてることから、なんとか8^nを2^nを使ってうまく消そうと考えたら8^n+n^3＝(2^n+n)(4^n-n×2^n+nn)とできるから解答のように変形すればn^3-nが2^n+nの倍数になることを示す問題に変形してやることができます。

解答はこちら。