(14)a^n-1＝(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)の解

今回は数学オリンピックの2011年の2番の解説です。

この問題は個人的によくできてていいと思います。好きなタイプの問題です。まず一般に次の性質が成り立ちます。

x>1として、x^s-1がx^t-1の倍数ならsはtの倍数

これは解答に示しておきましたがうまくくくったら因数分解できる形を出せるのでそこからわかります。

これと対称性からp≦q≦rとしたら簡単な不等式評価を作るとn-1<3rとなりこれとnがrの倍数からn＝r,2r,3rに絞れます。あとは頑張ります。

解答はこちら。