SNS で以下の 2017 年度の京大院試の基礎の問題5が話題になっていました。 この問題、京大の解析の基礎問題の中では基本的な問題で、解を具体的に表記して典型 的な評価を施せば解けます. とはいえ、常微分方程式を高校以来やってなかったら解の表現 を思い…

こんばんは。今日もブログをやっていきたいと思います。 さて、わたしは少しだけTwitterをやってるのですが、最近よくこんな感じのツイートを見ます。 僕も高校生の時はこういう問題を作って自作問題と言ってました。が、大学院生とかいう老害になるとこのタ…

はじめましての方ははじめまして。はじめましてじゃない方はお久しぶりです。けんけんです。 最近は大学院の勉強がいそがしかったりしたから仕事関係のことしか受験数学には触ったりしてませんでしたが生きてました。 2月、時間に少しだけ余裕があってポケモ…

この自作問題の解説をします。これは自作ってしてるけど単純に3^a+4^b＝5^cになる(a,b,c)＝(2,2,2)になるから他のやつならどうなるかなと思って作ったことになってます。とりあえずこのタイプは割った余りに気をつけるとだいたい条件が絞り込めます。 あと、…

だいぶ前の駿台全国模試の問題です。 まずこの式のα^n-β^n/α-βは漸化式が建てれることは前提として、とりあえずこういうタイプの問題は二乗和で表せるんだから実験してみましょう。そうするとn＝7まで調べたら答えが推測できると思うからあとは頑張って計算…

確か出典が高校への数学だからそんなに難しいことを使わない。ただ計算。ひたすら計算。しみじみ計算。 あ、あとa^3は割った余りを意識するとmod9が0,1,-1だからそういうのも見ると良いかも。

院生生活意外と忙しいですね。毎回手打ちで問題の講評してるけど五月病でやる気が出てません。 とりあえず答えだけでも貼った方が良いんでしょうかね笑笑 とりあえず115は無限あるので構成しようとしてみましょう。そうするととりあえずa^3+b^3が因数分解で…

お久しぶりです。今月の東進数学コンクールについて解説します。まず、問題は次のようなものでした。 https://www.toshin.com/sp/concours/ 時間が経つとサイトが変わるがしれないけど、 a_(n+2)＝a_(n+1)+a_n/nとなる数列が収束する条件を求めます。 この問…

暇人なので今日はゲームで連敗するまでやり続けるとしたときの回数の期待値を求めました、手動で。 というのも、僕はよくスプ◯トゥーンをしてるんですけど、あのゲーム、連敗すると調子が悪くなるので連敗するまでやることが多いんですよね。二連敗か三連敗…

関数方程式が結構好きなので今年のJMOの3もやりました。問題はネットで拾ったけど正の実数から正の実数に移して f(f(y)/f(x) +1)＝f(x+ y/x +1)-f(x) となるfです。 とりあえずx＝yを入れて単射性とか調べたら、x＝yのときとx＝2でf(2)みたいな形が簡単に固…

今日はJMO本選でしたね。さっき問題を見て、1が整数問題だったから久しぶりに解きました。右辺の次数がb^4くらいになるので、明らかにそこらへんを意識した不等式を作れたら解けると思います。今回はa^2＝(b^2-c^2)^2-b-3にして平方数になるはずだから(b^2-c…

整数問題ではないですが、数学がそこそこ好きなら一度くらい気になったことがある人もいるのではないでしょうか？僕もなんとなく気になって考えたのですが、意外とすんなり解けたから今日はこれについて書きたいと思います。 この問題ですが、本質的にはサイ…

どこの大学か忘れたけどどっかの大学入試です。こういう左辺と右辺の次数が違う問題は大概不等式評価で解けます。不等式は対称性とかを使って適当にくくればいいです。今回は答案のようにやりました。

とりあえず検索しやすいように番号を割り振りました。検索で(100)みたいにしたら100番が出るようになったと思います… さて、今回のはjjmoの問題ですが、どの桁を入れ替えてもいいというとたくさん操作方法がありそうなものですがこういう問題は一部の桁を入…

昔の東大の入試問題ですね。だいたい10^210/10^10になることはまぁなんとなくわかると思います。今回はそれをうまく言うにはどうすればいいかみたいなのを考えたらいいと思います。あと、分母が10^10+3みたいになってると考えにくいからこう言う問題は分母10…

今回はx^3+y^3-3xy＝nを満たす整数解が無限個あるnが-1に限る証明です。要はn＝-1の時だけイレギュラーなことが起きるのですがそれはn＝-1のときは因数分解＝0の形になるんですよね。だから逆にそうでないときは因数分解＝整数みたいな形にできるからそれに…

私事ですが、大学の授業もおわり、大学院に向けた月1のゼミも終わったことから勉強は継続しないといけないけど少し空き時間ができたから今後もぼちぼち解いていけたらなと思いますね。 さて、この問題ですが素直に帰納法使えばだいたいできます。ただ、ちょ…

APMOのこの問題も解説したいと思います。なんかやや難になってたけど今解いたらそこまで難しくなかったから標準にしてもいいかもですね。普通にn^p+1がLTEの補題に当てたらほとんどn+1の作用で決まってしまうのとn+1はqの倍数でないがn^p+1はqの倍数のような…

気が向いたから問題解説再開します！暇な人は解説お願いしてくれたらやるよ！ この問題は全部かけたらだいたい36n^6みたいに6n^3の二乗くらいになるなみたいな、最高次数に着目するとだいたい平方数になるから不等式評価ができそうみたいな考え方になります。

お久しぶりです。整数問題とは全く関係ないですが今日は今月の東進数学コンクールについて喋りたいと思います。 今月の東進数学コンクールは上のような(0,1)で連続な導関数をもつ関数に対して上の形の式の最小値を求めるという問題です、という高校生に対し…

今日はimoの整数問題の解説をします。このimoの問題でよくある初手で固まりそうな問題ですが、とりあえずこの式をmとおいてaの二次式とみなします。するとこれは結構有効な手段なのですが、 xx+ax+b＝0が整数解を持つなら判別式aa-4bは平方数になる という主…

今回は整数問題関係なくて高校生にはちょっと解けない(大学数学の基礎の中の基礎を身につけたらできるのでちょうど春休みあたりだから勉強してみるのも良いかも)関数方程式の話をします。 このf(xy)＝f(x)f(y)というのは群の準同型と呼ばれる形になる(実際は…

今回は阪大の2011年の4番ですね。大学入試の問題だと難しい。(あと誘導のぞいてるけど僕が高校生の時誘導なしで解いたときの難易度がやや易でした。) こういう問題をどうやって解くかというと、 f(x)の3乗根はだいたいx+a/3くらいになることを知ってると任意…

今日は自作問題の解説です。これは確か大学一回生のときくらいに作った問題です。慣れてないと何をすればいいかわからないかもしれません。 とりあえず適当に試して見るといいです。例えばa_1＝1でa_2＝3とかすれば次a_3は5か8か11かそんな感じになって、a_3…

今回は自作問題の解説です。この問題、正の整数じゃなくても整数で成立するやと思って整数解を求める問題にしたけど書くだけ案件が多くなってくそな拡張でしたね() 解説していくと、まぁ冪に関する問題の典型的主張を使っていけば大丈夫だと思います。 a≦0ま…

大学への数学の2016年の1月の宿題だと思います。 だと思いますというのは、botでa^2+b,b^2+aがどちらも素数の整数乗となる(a,b)を求めよとしていたのですがこれはa＝1としたときにb+1,b^2+1が共に素数の整数乗となればよくなるのですがこれはb＝1,2,4,6,10,……

整数問題botの中で一番簡単のうちの一つです。こんなん解説いらんわって人もいるかもしれないけど本当にランダムにやってるだけなんで希望あったら行ってくださいね。 これはほぼ解説することもないんですがn^4を3n+7で割って定数出したいんですがn^4の係数1…

今日のは普段と毛色が違います。というのも円周率が無理数なのは有名問題で高校数学で解けるとはいえ解き方知らずに解くのはさすがに無理がありすぎるからです(天才なら解き方知らずにできると思うけど僕の主観的な意見で収録してません)。僕も「円周率 無理…

今回は2009年のJMOです。気づけば簡単に解けると思います。 一般的に指数関数は普通の多項式より発散速度が速い、つまりnをある程度大きくすると2^n>n^kが成立します。ので、この問題は多項式が2^n+nの倍数になることが言えたら多項式>0なら多項式≧2^n+nとな…

三次方程式の解に関する問題です。こういうαⁿ＋βⁿ＋γⁿとかの性質はm項間漸化式を立てれることを知っておくと便利です。解答に書きましたがこういうm次方程式の解をn乗した和というのはa_(n+3)-2a_(n+2)-8a_n＝0と、x^3-2x^2-8＝0と酷似した形の良い等式が得…